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    立体几何专项复习题目及答案

    试题 时间:2018-06-25 我要投稿
    【www.3713451.com - 试题】

      习题课

      【课时目标】 1.能熟练应用直线、平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明.2.进一步体会化归思想在证明中的应用.

      a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面.

      位置

      关系判定定理

      (符号语言)性质定理

      (符号语言)

      直线与平面平行a∥b且__________?a∥αa∥α,________________?a∥b

      平面与平面平行a∥α,b∥α,且________________?α∥βα∥β,________________?a∥b

      直线与平面垂直l⊥a,l⊥b,且____________?l⊥αa⊥α,b⊥α?____

      平面与平面垂直a⊥α,____?α⊥βα⊥β,α∩β=a,

      __________?b⊥β

      一、填空题

      1.不同直线m、n和不同平面α、β.给出下列命题:

      ①α∥βm?α?m∥β; ②m∥nm∥β?n∥β;

      ③m?αn?β?m,n异面; ④α⊥βm∥α?m⊥β.

      其中假命题的个数为________.

      2.下列命题中:(1)平行于同一直线的两个平面平行;(2)平行于同一平面的两个平面平行;(3)垂直于同一直线的两直线平行;(4)垂直于同一平面的两直线平行.其中正确命题的为________.

      3.若a、b表示直线,α表示平面,下列命题中正确的有________个.

      ①a⊥α,b∥α?a⊥b;②a⊥α,a⊥b?b∥α;③a∥α,a⊥b?b⊥α.

      4.过平面外一点P:①存在无数条直线与平面α平行;②存在无数条直线与平面α垂直;③有且只有一条直线与平面α平行;④有且只有一条直线与平面α垂直,其中真命题的个数是________.

      5.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是________.

      6.设a,b为?#25945;?#30452;线,α,β为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是________.

      ①若a,b与α所成的角相等,则a∥b;

      ②若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b;

      ③若a?α,b?β,a∥b,则α∥β;

      ④若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b.

      7.三棱锥D-ABC的三个侧面?#30452;?#19982;底面全等,且AB=AC=3,BC=2,则二面角A-BC-D的大小为______.

      8.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对?#20445;?#22312;一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________.

      9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BD1的中点,则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是________.(填序号)

      二、解答题

      10.如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证:

      (1)DE=DA;

      (2)平面BDM⊥平面ECA;

      (3)平面DEA⊥平面ECA.

      11.如图,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.

      (1)证明:平面AB1C⊥平面A1BC1;

      (2)设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD,求A1DDC1的值.

      能力提升

      12.四棱锥P—ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A,其三视图如图:

      (1)根据图中的信息,在四棱锥P—ABCD的侧面、底面和棱中,请把符合要求的结论填写在空格处(每空只要求填一种):

      ①一对互相垂直的异面直线________;

      ②一对互相垂直的平面________;

      ③一对互相垂直的直线和平面________;

      (2)四棱锥P—ABCD的表面积为________.(棱锥的表面积等于棱锥各面的面积之和)

      13.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF,EF∥AB,EF⊥FB,BF=FC,H为BC的中点.

      (1)求证:FH∥平面EDB;

      (2)求证:AC⊥平面EDB.

      转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路,其关系为

      即利用线线平行(垂直),证明线面平行(垂直)或证明面面平行(垂直);?#22402;?#26469;,又利用面面平行(垂直),证明线面平行(垂直)或证明线线平行(垂直),甚至平行与垂直之间的转化.这样,来来往往,就如同运用“四渡赤水”的战略战术,达到了出奇制胜的目的.

      习题课 答案

      知识梳理

      位置

      关系判定定理

      (符号语言)性质定理

      (符号语言)

      直线与平面平行a∥b且a?α,b?α?a∥αa∥α,a?β,α∩β=b?a∥b

      平面与平面平行a∥α,b∥α,且a?β,b?β,a∩b=P?α∥βα∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b

      直线与平面垂直l⊥a,l⊥b,且a?α,b?α,a∩b=P?l⊥αa⊥α,b⊥α?a∥b

      平面与平面垂直a⊥α,a?β?α⊥βα⊥β,α∩β=a,b⊥a,b?α?b⊥β

      作业设计

      1.3

      解析 命题①正确,面面平行的性质;命题②不正确,也可能n?β;命题③不正确,如果m、n有一条是α、β的交线,则m、n共面;命题④不正确,m与β的关系不确定.

      2.2

      解析 (2)和(4)对.

      3.1

      解析 ①正确.

      4.2

      解析 ①④正确.

      5.线段B1C

      解析 连结AC,AB1,B1C,

      ∵BD⊥AC,AC⊥DD1,

      BD∩DD1=D,

      ∴AC⊥面BDD1,

      ∴AC⊥BD1,

      同理可证BD1⊥B1C,

      ∴BD1⊥面AB1C.

      ∴P∈B1C时,始终AP⊥BD1.

      6.④

      7.90°

      解析

      由题意画出图形,数据如图,取BC的中点E,

      连结AE、DE,易知∠AED为二面角A—BC—D的平面角.

      可求得AE=DE=2,由此得AE2+DE2=AD2.

      故∠AED=90°.

      8.36

      解析 正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对?#20445;?2条棱长共对应着24个“正交线面对?#20445;?#27491;方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对?#20445;?2条面对角线对应着12个“正交线面对?#20445;?#20849;有36个.

      9.①④

      10.证明 (1)如图所示,

      取EC的中点F,连结DF,∵EC⊥平面ABC,

      ∴EC⊥BC,又由已知得DF∥BC,

      ∴DF⊥EC.

      在Rt△EFD和Rt△DBA中,

      ∵EF=12EC=BD,

      FD=BC=AB,

      ∴Rt△EFD≌Rt△DBA,

      故ED=DA.

      (2)取CA的中点N,连结MN、BN,

      则MN?12EC,

      ∴MN∥BD,∴N在平面BDM内,

      ∵EC⊥平面ABC,∴EC⊥BN.又CA⊥BN,

      ∴BN⊥平面ECA,BN?平面MNBD,

      ∴平面MNBD⊥平面ECA.

      即平面BDM⊥平面ECA.

      (3)∵BD?12EC,MN?12EC,

      ∴BD?MN,

      ∴MNBD为平行四边形,

      ∴DM∥BN,∵BN⊥平面ECA,

      ∴DM⊥平面ECA,又DM?平面DEA,

      ∴平面DEA⊥平面ECA.

      11.(1)证明 因为侧面BCC1B1是菱形,

      所以B1C⊥BC1.

      又B1C⊥A1B,

      且A1B∩BC1=B,

      所以B1C⊥平面A1BC1.

      又B1C?平面AB1C,

      所以平面AB1C⊥平面A1BC1.

      (2)解 设BC1交B1C于点E,连结DE,则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线.

      因为A1B∥平面B1CD,所以A1B∥DE.

      又E是BC1的中点,所以D为A1C1的中点,

      即A1DDC1=1.

      12.(1)①PA⊥BC(或PA⊥CD或AB⊥PD)

      ②平面PAB⊥平面ABCD(或平面PAD⊥平面ABCD或平面PAB⊥平面PAD或平面PCD⊥平面PAD或平面PBC⊥平面PAB)

      ③PA⊥平面ABCD(或AB⊥平面PAD或CD⊥平面PAD或AD⊥平面PAB或BC⊥平面PAB)

      (2)2a2+2a2

      解析 (2)依题意:正方形的面积是a2,

      S△PAB=S△PAD=12a2.

      又PB=PD=2a,∴S△PBC=S△PCD=22a2.

      所?#36816;?#26865;锥P—ABCD的表面积是

      S=2a2+2a2.

      13.

      (1)证明 如图,设AC与BD交于点G,则G为AC的中点.连结EG,GH,由于H为BC的中点,

      故GH?12AB.

      又EF?12AB,∴EF?GH.

      ∴四边形EFHG为平行四边形.

      ∴EG∥FH.

      而EG?平面EDB,FH?平面EDB,

      ∴FH∥平面EDB.

      (2)证明 由四边形ABCD为正方形,

      得AB⊥BC.

      又EF∥AB,∴EF⊥BC.

      而EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC.

      ∴EF⊥FH.

      ∴AB⊥FH.

      又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC.

      ∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.

      又FH∥EG,∴AC⊥EG.

      又AC⊥BD,EG∩BD=G,

      ∴AC⊥平面EDB.

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